[ Pobierz całość w formacie PDF ]

z
z2
e) f(z) = , z0 = 2; f) f(z) = ez, z0 = Ài.
z + 2
7
4.4
Znalez
ć wszystkie zera podanych funkcji i zbadać ich krotność:
2
sin z
a) f(z) = z3 + 1 z4; b) f(z) = z2 eiz - 1 ; c) f(z) = ;
z
ez sin z
d) f(z) = ; e) f(z) = ; f) f(z) = sin z eiz - 1 .
sin z ez
Punkty osobliwe i residua
5.1
"
Znalez
ć pierścień zbieżności i sumę szeregu Laurenta cnzn, jeżeli:
n=-"
ñø
-1
ôø
òø
dla n 0,
0 dla n 0,
(2i)n+1
a) cn = b) cn =
ôø
2-n-1 dla n
óø
in+1 dla n
ñø
n
ôø
dla n 0,
ôø
òø
2n+1
c*) cn =
0 dla n = -2,
ôø
ôø
óø
-1 dla n
5.2
Znalez
ć rozwinięcie funkcji f(z) w szereg Laurenta we wskazanym pierścieniu P :
1
a) f(z) = , P = {z " C : 1
z(1 - z)
1
b) f(z) = , P = {z " C : 0
z(1 - z)
z
c) f(z) = , P = {z " C : 4
(z - 1)(z + 3)
z2 - 1
d) f(z) = , P = {z " C : 2
(z + 2)(z + 3)
i
e) f(z) = (z2 + 2z)ez , P = {z " C : 0
1
f*) f(z) = zez-1 , P = {z " C : 0
Wskazówka do f*). Wykorzystać równość z = (z - 1) + 1.
5.3
Określić rodzaj punktów osobliwych odosobnionych podanych funkcji. W przypadku biegu-
nów zbadać ich krotność:
8
z2 sin z z
a) f(z) = ; b) f(z) = ; c) f(z) = ;
z2 + 1 z2 - À2 sin z
z2 1
d) f(z) = z tg z; e) f(z) = ; f) f(z) = z sin ;
ez - 1 z
z
1 ez-1 ez - 1
g) f(z) = ; h) f(z) = ; i*) f(z) = .
1
z(cos z - 1) ez - 1
ez - 1
5.4
a) Jak oblicza siÄ™ residua w punkcie istotnie osobliwym?
b) Dlaczego w przypadku punktu istotnie osobliwego próby stosowania wzorów służących do
obliczania residuów w biegunach muszą zakończyć się fiaskiem?
c) Podać przykład funkcji, dla której punkt z = 0 jest istotnie osobliwy i res0f(z) = a, gdzie
a jest dowolnÄ… liczbÄ… zespolonÄ….
5.5
Obliczyć residua funkcji f(z) w punktach osobliwych:
z + 1 z2 1
a) f(z) = ; b) f(z) = ; c) f(z) = ;
z2 + 1 (z - 1)2 z3 - z5
1
1 ez
z
d) f(z) = ; e) f(z) = ; f) f(z) = ze ;
z2 cos z z
1
g) f(z) = w punkcie z = i.
1 - z8
5.6
Korzystając z twierdzenia całkowego o residuach obliczyć podane całki:
zdz
a) , C  okrÄ…g |z| = 2 zorientowany dodatnio;
z2 + 2z + 2
C
dz
b) , C  okrÄ…g x2 + y2 = 2x + 2y zorientowany dodatnio;
(z - 1)2(z2 + 1)
C
eÀzdz
c) , C  okrÄ…g |z| = 1 zorientowany dodatnio;
2z2 - i
C
dz
d) , C  okrÄ…g |z - 2i| = 3 zorientowany dodatnio;
e2z - 1
C
1
1
e) (z + 1)ez dz, C  okrÄ…g |z| = zorientowany dodatnio.
3
C
5.7
Obliczyć podane całki niewłaściwe:
" " "
x2 + 1 dx dx
a) dx; b) ; c) .
x4 + 1 (1 + x2)3 (x2 + 2)(x2 + 5)
-" -" -"
9
Przekształcenie Laplace a
6.1
Narysować wykres funkcji f(t) i znalez
ć jej transformatę Laplace a, jeżeli:
ñø ñø
0 dla t
ôø ôø
òø òø
a) f(t) = t dla t " [0, 1], b) f(t) = -1 dla t " (1, 2),
ôø ôø
óø óø
1 dla t > 1; 0 poza tym.
6.2
Niech L {f(t)} = F (s). Udowodnić następujące własności przekształcenia Laplace a i prze-
kształcenia odwrotnego:
a) L eatf(t) = F (s - a), gdzie a " C;
1 s
b) L {f(at)} = F , gdzie a > 0;
a a
1 t
c) L-1 {F (cs)} = f , gdzie c > 0.
c c
6.3
Korzystając z własności przekształcenia Laplace a wyznaczyć transformaty podanych funkcji:
a) f(t) = sh Ét; b) f(t) = sin2 Ét;
c) f(t) = cos (Ét - ´) 1(Ét - ´); d) f(t) = eat sin2 Ét;
ñø ñø
0 dla t
ôø ôø
òø òø
e) f(t) = t dla t " [0, 1], f) f(t) = -1 dla t " (1, 2),
ôø ôø
óø óø
1 dla t > 1; 0 poza tym.
6.4
Korzystając z własności przekształcenia Laplace a wyznaczyć transformaty podanych funkcji:
a) f(t) = (at - t0)n; b) f(t) = t sin Ét; c) f(t) = t2 cos Ét;
1 sin Ét cos Ét - 1
d) f(t) = (sin t + t cos t); e*) f(t) = ; f*) f(t) = ;
2 t t
t
sin Ä
g*) f(t) = dÄ.
Ä
6.5
Naszkicować podane oryginały okresowe i znalez
ć ich transformaty Laplace a:
1 dla 2n t
a) f(t) = gdzie n = 0, 1, 2, ... ;
-1 dla 2n + 1 t
t - 2n dla 2n t
b) f(t) = gdzie n = 0, 1, 2, ... ;
-t + 2n + 2 dla 2n + 1 t
c) f(t) = max {sin Ét, 0}.
10
6.6
Wykorzystując całkę Laplace a obliczyć podane całki niewłaściwe:
" "
t
-2
a) e-t cos Àt dt; b) e t4 - 2t2 + 4 dt;
0 0
" "
À 1 - e-t
c) e-2t sin - t dt; d*) dt.
3 te2t
0 0
6.7
Metodą rozkładu na ułamki proste znalez
ć oryginał, gdy:
s3 - 3s2 - 7s - 8 4s3 + 9s2 + 8s + 2
a) F (s) = ; b) F (s) = ;
(s + 1)2(s2 + 4) s(s + 2)(s2 + 1)
4s2 + 20s + 26 3s3 - 8s2 + 21s - 8
c) F (s) = ; d) F (s) = .
s(s2 + 6s + 13) (s - 2)2(s2 + 2s + 5)
6.8
Metodą residuów wyznaczyć oryginały, których transformatami są podane funkcje:
s s2 - 4 s - 1
a) F (s) = ; b) F (s) = ; c) F (s) = .
s(s2 + 2s + 2)2
(s2 + 1)2 (s2 + 4)2
6.9
Sprawdzić, czy podane funkcje są transformatami Laplace e oryginałów okresowych. Znalez
ć
te oryginały i naszkicować ich wykresy:
1 3
- e-2s + e-3s
A (1 - e-s)2 1 1 e-2Às + e-Às
2 2
a) F (s) = ; b) F (s) = ; c) F (s) = .
s 1 - e-2s s2 1 - e-3s s2 + 1 1 - e-2Às
6.10
Metodą operatorową rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych:
a) y + y = sin t, y(0) = 0;
b) y - y - 6y = 2, y(0) = 1, y (0) = 0;
c) y + 4y + 13y = 2e-t, y(0) = 0, y (0) = -1;
d) y - 2y + y = 1, y(0) = 0, y (0) = 1.
6.11
Metodą operatorową rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla układów równań różnicz-
kowych:
x = -y,
a) x(0) = y(0) = 1;
y = 2x + 2y,
x + 2y = 3t,
b) x(0) = 2, y(0) = 3;
y - 2x = 4,
ñø
x = y - z,
ôø
òø
c) y = x + y, x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3.
ôø
óø
z = x + z,
11
6.12
Sprawdzić twierdzenie Borela dla podanych splotów funkcji:
a) t " sin t; b) t " t2; c) cos t " et.
6.13
Korzystając z twierdzenia Borela o splocie wyznaczyć oryginały, których transformatami są
podane funkcje:
5s 1 s
a) F (s) = ; b) F (s) = ; c) F (s) = .
(s2 + 1) (s - 1) s2 (s2 + 1)
(s2 + 4)2
12 [ Pobierz całość w formacie PDF ]